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π 是所有数字中最大的超级明星。它在某种程度上体现了“圆”的概念，对于我们凡人来说是遥不可及的，因为总会有无数的数字隐藏在我们面前，并且不遵循任何规则的模式。

众所周知，π 的定义是任何圆的周长与其直径的比值。因此，当 π 出现时，很自然地预期圆会隐藏在方程中的某个位置。尽管与几何有这种联系，π 似乎在数学中无处不在，有时甚至出现在距离其原始起源很远的地方。

在这篇文章中，我们将研究 5 个非常著名且美丽的 π 公式，并展示它们为什么是正确的。我们将使用证明大纲来展示它们，这意味着如果读者想要非常精确，可以为读者留下一些细节。这些草图旨在说服您并帮助您理解为什么这些公式是正确的。

π 的莱布尼茨公式以戈特弗里德·莱布尼茨 (Gottfried Leibniz) 的名字命名，指出：

当 -1 ≤ z ≤ 1 时收敛。如果我们代入 z = 1，我们就得到结果。

所以这个圆实际上隐藏在余弦的正弦角处，因为我们最终要问的是我们需要什么角度 -π/2 ≤ θ ≤ π/2 才能使 sin(θ) = cos(θ )，答案当然是 π/4（以弧度表示）。

约翰·沃利斯 (John Wallis) 于 1656 年出版了沃利斯 (Wallis) 的 π 著作，其中指出 π 可以用以下无限乘积来表示。

让我们回忆一下欧拉正弦函数的乘积公式。

两边同时乘以 π²，就得到结果。

布冯针的问题是布冯伯爵乔治·路易斯·勒克莱尔 (Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon) 在 18 世纪首次提出的问题。内容如下。

假设我们有一根针和一个平坦的表面，上面有平行的条纹，每个条纹的宽度都与针相同。如果我们将一根针放在表面上，那么针穿过两条条纹之间的线的概率是多少？

显然，针可以指向各个方向并落在任何地方。下图中有两种情况，其中蓝色圆圈表示所有可能的针方向形成一个圆圈。

显然，布冯的针问题是几何概率中最早被解决的问题。

为简单起见且不失一般性，我们选择针长度为1。测量单位并不重要。

假设我们将平面放置在笛卡尔坐标系中，并将其中一条垂直线放置在 y 轴上。那么我们用 x 表示针中心沿 x 轴的位置，用 θ 表示交叉的极限角度，即，如果针与 x 轴的夹角在 x 轴的 ±θ 范围内，那么针将与垂直线相交。

这个图片看起来像这样：

有多少有创造力的数学家，就有多少种证明这一点的方法。这个问题已经成为数学界的标准挑战。我们仍然需要一点创意，因为被积函数在已知函数方面没有标准的反导数。

积分可以被认为是下图中钟形图下方的面积。

最后我们得到结果 I² = π，或者正如我们在本节开头所说的那样，

在这种情况下，π 来自二维高斯函数的旋转对称性，它是平行于 xy 平面的每个级别上的圆。